One.证明整数集Z和自然数集N的势标记均为ℵ₀
思路:
构造出Z到N的函数f,证明f满足双射,即可证明两者等势
过程:
取Z序列{0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4…}
取N序列{0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}
Two.证明集合NxN的势同N均为ℵ₀
集合NxN={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<2,0>,<1,1>…}
可在笛卡尔坐标系中表示:
取N序列{0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}
每一个点代表了NxN集合中的一个元素<x,y>,边上的绿色数字表示的是其映射到集合N中的对应元素。
显然能够形成一一对应的关系,所以满足双射与满射,因此是等势的。
Three.证明实数集R的势为ℵ₁
若N与R等势,则在两个集合之间存在一个对应的双射的f:N->R
根据双射的性质可知,我们能够取到一个实数c∈R值域,对应一个自然数n∈N定义域。
但是,假设这个c的
第一位小数不等于f(0) 的第一位小数,
第二位小数不等于f(1)的第二位小数,
第三位小数不等于f(2)的第三位小数,
第四位小数不等于f(3)的第四位小数,
第五位小数不等于f(4)的第五位小数
……
那么,就能发现找不到一个对应的n能够让f(n)=c
也就是f不满足满射条件,
也就是说N集的势是小于R集的,
因此记R集的势为ℵ₁≠ℵ₀
201407670110
.2015.12.30.22:00